Étudier des suites réelles liées entre elles par une relation linéaire avec les matrices (1) - Corrigé

–

Modifié par Clemni

–

Énoncé

On considère les suites réelles $(u_{n})_{n \in N}$ et $(w_{n})_{n \in N}$ définies par : pour tout $n \in N, {\begin{cases} u_{n + 1} = 2 u_{n} + 2 w_{n} \\ w_{n + 1} = 2 u_{n} - 2 w_{n} \\ u_{0} = 1; w_{0} = - 1 \end{cases}$ .

1. En posant, pour tout $n \in N,$ $X_{n} = (\begin{matrix} u_{n} \\ w_{n} \end{matrix})$ , justifier qu'on peut écrire ce problème sous la forme matricielle $X_{n + 1} = A X_{n}$ avec $A$ et $X_{0}$ des matrices à préciser.

2. Exprimer $X_{n}$ en fonction de $A$ et de $n$ .

3. Calculer $A^{2}$ et en déduire une expression de $A^{n}$ selon la parité de $n$ .

4. En déduire une expression de $X_{n}$ , puis de $u_{n}$ et $w_{n}$ en fonction de $n$ .

5. Les suites réelles $(u_{n})_{n \in N}$ et $(w_{n})_{n \in N}$ convergent-elles ?

Solution

1. On peut aisément vérifier que le système ${\begin{cases} u_{n + 1} = 2 u_{n} + 2 w_{n} \\ w_{n + 1} = 2 u_{n} - 2 w_{n} \\ u_{0} = 1; w_{0} = - 1 \end{cases}$ s'écrit sous forme matricielle : ${\begin{cases} X_{n + 1} = A X_{n} \\ X_{0} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}); A = (\begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & - 2 \end{array}) \end{cases}$

2. $X_{n} = A^{n} X_{0}$

3. $A^{2} = (\begin{matrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{matrix}) = 8 I_{2}$ avec $I_{2}$ la matrice identité de taille 2. On a donc, pour tout $k \in N$ , $A^{2 k} = 8^{k} I_{2} = (\begin{matrix} 2^{3 k} & 0 \\ 0 & 2^{3 k} \end{matrix})$
et $A^{2 k + 1} = 8^{k} A = (\begin{matrix} 2 \times 8^{k} & 2 \times 8^{k} \\ 2 \times 8^{k} & - 2 \times 8^{k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2^{3 k + 1} & 2^{3 k + 1} \\ 2^{3 k + 1} & - 2^{3 k + 1} \end{matrix})$

4. Pour $n = 2 k$ pair, on a donc $X_{2 k} = (\begin{matrix} 2^{3 k} \\ - 2^{3 k} \end{matrix})$ , ce qui donne ${\begin{cases} u_{2 k} = 2^{3 k} \\ w_{2 k} = - 2^{3 k} \end{cases}$

et, pour $n = 2 k + 1$ impair, $X_{2 k + 1} = (\begin{matrix} 0 \\ 2^{3 k + 2} \end{matrix})$ , ce qui donne ${\begin{cases} u_{2 k + 1} = 0 \\ w_{2 k + 1} = 2^{3 k + 2} \end{cases}$ .

5. Les deux suites réelles $(u_{n})_{n \in N}$ et $(w_{n})_{n \in N}$ sont donc divergentes.

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
Télécharger le manuel : https://forge.apps.education.fr/drane-ile-de-france/les-manuels-libres/mathematiques-terminale-expert ou directement le fichier ZIP
Sous réserve des droits de propriété intellectuelle de tiers, les contenus de ce site sont proposés dans le cadre du droit Français sous licence CC BY-NC-SA 4.0